1954 году Варгашкин принял участие в первом для СССР чемпионате мира в спринте, а в 1956 году принял участие в Олимпийских играх в Мельбурна.

В 1960 году Ростислав Евгеньевич завоевал бронзовую медаль Олимпийских игр в Риме в гите на 1.000 м.

После завершения спортивной карьеры перешёл на тренерскую работу. С 1966 по 1978 годы был главным тренером сборной Советского Союза по велоспорту.

С 1989 по 1996 гг. был президентом Союза велосипедистов России. В 1993 году вошел в Руководящий комитет Европейского союза велосипедистов и в Международный союз велосипедистов в числе 14 членов от Европы с правом голоса.

Федерация велосипедного спорта России поздравляет Ростислава Евгеньевича с днем рождения. Желает ему здоровья, успехов в работе и семейного благополучия.